Question

14．设向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），向量$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）．
（1）若x∈R，求f（x）=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的单调增区间
（2）若g（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最小值是-$\frac{3}{2}$，其中λ＞0．x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量数量积的坐标表示和模的公式，结合二倍角的余弦公式化简f（x），再由余弦函数的图象可得增区间；
（2）求得g（x）的解析式，令t=cosx（0≤t≤1），即有g（t）=2t²-4λt-1=2（t-λ）²-1-2λ²，运用二次函数的最值的求法，讨论对称轴和区间的关系，即可得到所求值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），向量$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）．
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cos$\frac{3}{2}$xcos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3}{2}$xsin$\frac{x}{2}$=cos（$\frac{3x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=cos2x，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{co{s}^{2}\frac{3x}{2}+si{n}^{2}\frac{3x}{2}}$=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{co{s}^{2}\frac{x}{2}+si{n}^{2}\frac{x}{2}}$=1，
f（x）=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{1+1+2cos2x}$=$\sqrt{2×2co{s}^{2}x}$=2|cosx|，
由y=|cosx|的图象可得f（x）的增区间为（kπ-$\frac{π}{2}$，kπ），k∈Z；
（2）g（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=cos2x-4λ|cosx|=2cos²x-1-4λ|cosx|，
令t=cosx（0≤t≤1），即有g（t）=2t²-4λt-1=2（t-λ）²-1-2λ²，
当λ＞1时，区间[0，1]为减区间，即有t=1时，取得最小值，
且为1-4λ=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{5}{8}$＜1，不成立；
当0＜λ≤1时，区间[0，λ]为减区间，[λ，1]为增区间，
即有t=λ时，取得最小值，
且为-1-2λ²=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{1}{2}$．
综上可得λ=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和模的公式的运用，考查三角函数的化简和求值，注意运用换元法，化为二次函数的最值求法，属于中档题．