Question

13．已知AB是抛物线y²=2px（p＞0）的过焦点F的一条弦．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为M（x₀，y₀）．求证：（1）|AB|=2（x₀+$\frac{p}{2}$）；
（2）若AB的倾斜角为θ，|AB|=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$；
（3）x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，y₁y₂=-p²；
（4）$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$为定值$\frac{2}{p}$．

Answer 1

分析 （1）由抛物线定义可得结论；
（2）设直线AB的方程为x=my+$\frac{p}{2}$，代入y²=2px，可得y²-2pmy-p²=0，再利用韦达定理，即可得到结论；
（3）利用韦达定理，即可得到结论
（4）利用抛物线的定义，可得结论．

解答 证明：（1）由抛物线定义可得|AB|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p=2（x₀+$\frac{p}{2}$）；
（2）设直线AB的方程为x=my+$\frac{p}{2}$，代入y²=2px，可得y²-2pmy-p²=0，
y₁y₂=-p²，y₁+y₂=2pm，
∴y₁²+y₂²=2p（x₁+x₂）=4p²m²+2p²，∴x₁+x₂=2pm²+p，
∴θ=90°时，m=0，∴|AB|=2p=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$；θ≠90°时，m=$\frac{1}{tanθ}$，|AB|=$\frac{2p}{ta{n}^{2}θ}$+2p=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$．
∴|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$．
（3）由（2）知，y₁y₂=-p²，∴x₁x₂=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$；
（4）$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}+\frac{p}{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+p}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}+\frac{{p}^{2}}{4}}$=$\frac{2}{p}$．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系．当遇到抛物线焦点弦问题时，常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立，把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题．