Question

19．已知{a_n}为等差数列，a₂=6，a₆=18，数列{c_n}满足c_n+1=2c_n+1且c₁=0，而b_n=c_n+1．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设{a_n}的前n项和为S_n，d_n=S_ncos（$\frac{{a}_{n}}{3}$π）（n∈N^*），求{d_n}的前18项和T₁₈．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a_n}的通项公式；由已知得c_n+1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，从而由b_n=c_n+1，能求出{b_n}的通项公式．
（2）先求出S_n=$\frac{3{n}^{2}+3n}{2}$，从而得到d_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3{n}^{2}+3n}{2}，n为奇数}\\{\frac{3{n}^{2}+3n}{2}．n为偶数}\end{array}\right.$．由此能求出{d_n}的前18项和T₁₈．

解答 解：（1）∵{a_n}为等差数列，a₂=6，a₆=18，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=6}\\{{a}_{1}+5d=18}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=3，
∴a_n=3+（n-1）×3=3n．
∵数列{c_n}满足c_n+1=2c_n+1且c₁=0，
∴c₁+1=1，c_n+1+1=2（c_n+1），
∴{c_n+1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
∵b_n=c_n+1，∴b_n=2^n-1．
（2）∵{a_n}为等差数列，a₁=3，d=3，
∴S_n=3n+$\frac{n（n-1）}{2}$×3=$\frac{3{n}^{2}+3n}{2}$．
∴d_n=S_ncos（$\frac{{a}_{n}}{3}$π）=$\frac{3{n}^{2}+3n}{2}•cos（nπ）$=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3{n}^{2}+3n}{2}，n为奇数}\\{\frac{3{n}^{2}+3n}{2}．n为偶数}\end{array}\right.$．
∴{d_n}的前18项和：
T₁₈=$\frac{3}{2}$[-（1²+1）+（2²+2）-（3²+3）+（4²+4）-（5⁵+5）+（6²+6）+…-（17²+17）+（18²+18）]
=$\frac{3}{2}$[（2²-1²）+（4²-3²）+（6²-5²）+…+（18²-17²）+1×18]
=$\frac{3}{2}$（1+2+3+4+5+6+…+17+18+18×1）
=$\frac{567}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前18项和的求法，是中档题题时要注意等差数列、等比数列的性质及构造法的合理运用．