Question

9．已知{a_n}是递增的等差数列，a₂，a₄是方程x²-10x+24=0的根．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n+1}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由韦达定理得a₂=4，a₄=6，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）由$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，利用错位相减法能求出数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n+1}}$}的前n项和．

解答 解：（1）∵{a_n}是递增的等差数列，a₂，a₄是方程x²-10x+24=0的根，
∴a₂＜a₄，解方程x²-10x+24=0，得x₁=4，x₂=6，
∴a₂=4，a₄=6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=4}\\{{a}_{1}+3d=6}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=1，
∴a_n=3+（n-1）×1=n+2．
（2）∵$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n+1}}$}的前n项和：
S_n=$\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{4}{{2}^{3}}+\frac{5}{{2}^{4}}+…+\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，①
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{3}{{2}^{3}}+\frac{4}{{2}^{4}}+\frac{5}{{2}^{5}}+…+\frac{n+2}{{2}^{n+2}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+\frac{1}{{2}^{5}}+…+\frac{1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+2}{{2}^{n+2}}$
=$\frac{3}{4}$+$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+2}{{2}^{n+2}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}}-\frac{n+2}{{2}^{n+2}}$，
∴S_n=2-$\frac{n+4}{{2}^{n+1}}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．