Question

1．若0＜x₁＜x₂＜1，则下列判断正确的有③．
①e${\;}^{{x}_{2}}$-e${\;}^{{x}_{1}}$＞lnx₂-lnx₁；②e${\;}^{{x}_{2}}$-e${\;}^{{x}_{1}}$＜lnx₂-lnx₁；③x₂e${\;}^{{x}_{1}}$＞x₁e${\;}^{{x}_{2}}$；④x₂e${\;}^{{x}_{1}}$＜x₁e${\;}^{{x}_{2}}$．

Answer 1

分析 分别构造函数f（x）=e^x-lnx，g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，利用导数判断f（x），g（x）在（0，1）上的单调性，根据单调性即可比较．

解答 解：令f（x）=e^x-lnx，g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴f′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，g′（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴f′（x）的符号不确定，g′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上的单调性有增有减，g（x）在（0，1）上单调递减，
∴f（x₁）与f（x₂）无法比较大小，g（x₁）＞g（x₂），
∴e${\;}^{{x}_{2}}$-lnx₂与e${\;}^{{x}_{1}}$-lnx₁无法比较，$\frac{{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{1}}$＞$\frac{{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{2}}$，
即x₂e${\;}^{{x}_{1}}$＞x₁e${\;}^{{x}_{2}}$，
故答案为：③

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到构造两个函数．