Question

10．已知点A（-3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|．
（1）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
（2）若点Q在直线l₁：x+y+3=0上，直线l₂经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值，并求此时直线l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）设P点的坐标为（x，y），用坐标表示|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，整理即得点P的轨迹方程；
（2）求出圆心坐标，圆的半径，结合题意，利用圆的到直线的距离，半径，|QM|满足勾股定理，求出|QM|就是最小值，即可求此时直线l₂的方程．

解答 解：（1）设P点的坐标为（x，y），
∵两定点A（-3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，
∴（x+3）²+y²=4[（x-3）²+y²]，
即（x-5）²+y²=16．
所以此曲线的方程为（x-5）²+y²=16．
（2）∵（x-5）²+y²=16的圆心坐标为M′（5，0），半径为4，则圆心M′到直线l₁的距离为：$\frac{|5+3|}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵点Q在直线l₁：x+y+3=0上，过点Q的直线l₂与曲线C（x-5）²+y²=16只有一个公共点M，
∴|QM|的最小值为：$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-{4}^{2}}$=4．
直线M′Q的方程为x-y-5=0，与直线l₁：x+y+3=0联立，可得Q（1，-4），
设切线方程为y+4=k（x-1），即kx-y-k-4=0，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|4k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，∴k=0，方程为y=-4，
斜率不存在时，方程为x=1．

点评 考查两点间距离公式及圆的性质，着重考查直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用，属于难题．