Question

15．已知曲线C上的点到定点F（0，$\frac{P}{2}$）（p＞0）与到定直线y=-$\frac{P}{2}$的距离相等，A是曲线C上第一象限内的点，在点A处的切线l₁与x、y轴分别交于D、Q两点，且|FD|=2，∠AFD=60°．
（1）求曲线C的方程；
（2）求∠FAD的角平分线所在的直线方程．

Answer 1

分析 （1）求出切线方程，可得D的坐标，利用|FD|=2，建立方程，根据∠AFD=60°，|FD|=2，|AF|=4，建立方程，即可求曲线C的方程；
（2）求出∠FAD的角平分线所在的直线的斜率，即可求∠FAD的角平分线所在的直线方程．

解答 解：（1）由题意，设抛物线的方程为x²=2py（p＞0），∴y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$，
∴y′=$\frac{x}{p}$，
设A（m，n）（m＞0，n＞0），则切线方程为y-n=$\frac{m}{p}$（x-m），
∴D（$\frac{m}{2}$，0），∴$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{p}^{2}}{4}}$=2①，
∵k_FD=-$\frac{p}{m}$，∴AD⊥DF
∵∠AFD=60°，|FD|=2，∴|AF|=4，
∴n+$\frac{p}{2}$=4②，
由①②可得p=2，n=3，m=2$\sqrt{3}$，
∴曲线C的方程为x²=4y；
（2）设∠FAD的角平分线所在的直线的斜率为k，则
由（1）可知A（2$\sqrt{3}$，3），F（0，1），D（$\sqrt{3}$，0）
∵k_AD=$\sqrt{3}$，∠DAF=60°，
∴tan30°=$\frac{\sqrt{3}-k}{1+\sqrt{3}k}$，∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠FAD的角平分线所在的直线方程为y-3=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2$\sqrt{3}$），即x-$\sqrt{3}$y+$\sqrt{3}$=0．

点评 本题考查抛物线的方程，考查导数的几何意义，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．