Question

3．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n•pⁿ（p＞0），如果数列{a_n}是递增数列，则实数p的取值范围是p＞$\frac{n}{n+1}$；如果存在m∈N^*，对任意n∈N^*有a_n≤a_m成立，则实数p的取值范围是$\frac{m-1}{m}$≤p≤$\frac{m}{m+1}$．

Answer 1

分析 根据数列的单调性建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：∵数列{a_n}的通项公式为a_n=n•pⁿ（p＞0），如果数列{a_n}是递增数列，
∴满足$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＞1，即$\frac{（n+1）•{p}^{n+1}}{n•{p}^{n}}$=$\frac{（n+1）}{n}•p$＞1，
即p＞$\frac{n}{n+1}$，
若存在m∈N^*，对任意n∈N^*有a_n≤a_m成立，
则数列{a_n}存在最大值a_m，
若p=1，则a_n=n，则数列不存在最大值，不满足条件．
若p＞1，则a_n=n•pⁿ（p＞0），为增函数，则数列不存在最大值，不满足条件．
若0＜p＜1，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{m+1}≤{a}_{m}}\\{{a}_{m-1}≤{a}_{m}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（m+1）{p}^{m+1}≤m•{p}^{m}}\\{（m-1）{p}^{m-1}≤m•{p}^{m}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（m+1）p≤m}\\{m-1≤mp}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{p≤\frac{m}{m+1}}\\{p≥\frac{m-1}{m}}\end{array}\right.$，
即$\frac{m-1}{m}$≤p≤$\frac{m}{m+1}$，
故答案为：p＞$\frac{n}{n+1}$，$\frac{m-1}{m}$≤p≤$\frac{m}{m+1}$

点评 本题主要考查数列的递推公式的应用，结合数列的单调性的关系建立不等式是解决本题的关键．