Question

8．过点A（-2，3），B（-2，-5），且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的标准方程是（x-1）²+（y+1）²=25．

Answer 1

分析 要求圆的方程，就要求出圆心和半径．先求圆心：利用中点坐标公式求出AB的中点，求出垂直平分线的斜率，写出垂直平分线的方程，根据圆的性质可知圆心一定在弦AB的垂直平分线上，与直线x-2y-3=0联立求出圆心坐标，再求半径：根据两点间的距离公式求出圆心与A的距离即为圆的半径，利用圆心和半径写出圆的标准方程即可．

解答 解：由点A（-2，3），B（-2，-5），中点坐标公式求出AB的中点坐标为（-2，-1），AB的垂直的直线的斜率为0，
所以AB的垂直平分线是y=-1，
因为圆心是两直线的交点，联立得$\left\{\begin{array}{l}y=-1\\ x-2y-3=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\right.$，所以圆心坐标O为（1，-1）；
所以AO的长度等于圆的半径，则半径r²=（-2-1）²+（3+1）²=25，
所以圆的方程为（x-1）²+（y+1）²=25
故答案为：（x-1）²+（y+1）²=25．

点评 考查学生灵活运用圆的性质解决实际问题，要求学生会利用两个点求中点坐标和所在直线的斜率，掌握两直线垂直时斜率满足的条件，会根据圆心和半径写出圆的标准方程．