Question

6．已知实数a，b满足2^a+1+2^b+1=4^a+4^b，则a+b的取值范围是（-∞，2]．

Answer 1

分析 由已知得（2^a-1）²+（2^b-1）²=2，借助圆的参数方程得到2^a+2^b=2+$\sqrt{2}sinθ+\sqrt{2}cosθ$=2+2sin（$θ+\frac{π}{4}$），由此利用均值定理能求出a+b的取值范围．

解答 解：∵实数a，b满足2^a+1+2^b+1=4^a+4^b，
∴2×2^a+2×2^b=（2^a）²+（2^b）²，
∴（2^a-1）²+（2^b-1）²=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{a}=1+\sqrt{2}cosθ}\\{{2}^{b}=1+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，$-\frac{π}{4}＜θ＜\frac{3π}{4}$，
∴2^a+2^b=2+$\sqrt{2}sinθ+\sqrt{2}cosθ$=2+2sin（$θ+\frac{π}{4}$）．
∴0＜2^a+2^b≤4，
∴${2}^{a}+{2}^{b}≥2\sqrt{{2}^{a}•{2}^{b}}$=$2\sqrt{{2}^{a+b}}$，
∴${2}^{a+b}≤（\frac{{2}^{a}+{2}^{b}}{2}）^{2}$≤（$\frac{4}{2}$）²=4=2²．
∴a+b≤2．
故答案为：（-∞，2]．

点评 本题考查代数和的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的参数方程和均值定理的合理运用．