Question

16．已知（1，2）是直线l被椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1所截得的线段的中点，则l的方程是3x+2y-7=0．

Answer 1

分析 设直线l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法能求出直线l的方程．

解答 解：设直线l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵（1，2）是直线l被椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1所截得的线段的中点，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=4，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，两式相减，
得：12（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴24（x₁-x₂）+16（y₁-y₂）=0，
∴k=-$\frac{3}{2}$，
∴直线l的方程为y-2=-$\frac{3}{2}$（x-1），
整理，得3x+2y-7=0．
故答案为：3x+2y-7=0．

点评 本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”．