Question

1．已知P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1上一点，左、右焦点分别是F₁，F₂，若∠F₁PF₂=60°，则△PF₁F₂的面积为$\frac{64\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 依题意，在△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，|F₁P|+|PF₂|=2a=20，|F₁F₂|=12，利用余弦定理可求得|F₁P|•|PF₂|的值，从而可求得△PF₁F₂的面积．

解答 解：∵椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1，
∴a=10，b=8，c=6．
又∵P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°，F₁、F₂为左右焦点，
∴|F₁P|+|PF₂|=2a=20，|F₁F₂|=12，
∴|F₁F₂|²=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|F₁P||PF₂|-2|F₁P|•|PF₂|cos60°
=400-3|F₁P|•|PF₂|
=144，
∴|F₁P|•|PF₂|=$\frac{256}{3}$．
∴△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$|F₁P|•|PF₂|sin60°
=$\frac{1}{2}$×$\frac{256}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{64\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{64\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．