Question

10．如图四棱锥P-ABCD中，PB=PC，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=60°，DC=1，AD=$\sqrt{3}$．
（1）求证：AB∥平面PCD；
（2）求证：PA⊥BC．

Answer 1

分析 （1）由AB∥DC，能证明AB∥平面PCD．
（2）由已知推导出△ABC是边长为2的等边三角形，取BC中点O，连结AO、PO，则AO⊥BC，PO⊥BC，由此能证明PA⊥BC．

解答 证明：（1）∵底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，
又CD?平面PCD，AB?平面PCD，
∴由直线与平面平行判定定理得AB∥平面PCD．
（2）∵底面ABCD是直角梯形，
AB∥DC，∠ABC=60°，DC=1，AD=$\sqrt{3}$，
∴∠ADC=90°，AC=$\sqrt{3+1}$=2，∴△ABC是边长为2的等边三角形，
取BC中点O，连结AO、PO，则AO⊥BC，
∵四棱锥P-ABCD中，PB=PC，∴PO⊥BC，
∵PO∩AO=O，∴BC⊥平面PAO，
∵PA?平面PAO，∴PA⊥BC．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．