Question

2．设函数f（x）=log₂（1+a•2^x+4^x），其中a为常数
（1）当f（2）=f（1）+2，求a的值；
（2）当x∈[1，+∞）时，关于x的不等式f（x）≥x-1恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接计算出f（1）和f（2），根据条件解方程即可求得a；
（2）采用分离参数法，分离变量a，再根据函数的单调性求最值，得出a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=log₂（1+a•2^x+4^x），
∴f（1）=log₂（1+2a+4），f（2）=log₂（1+4a+16），
由于f（2）=f（1）+2，
即log₂（4a+17）=log₂（2a+5）+2，
解得，a=-$\frac{3}{4}$；
（2）因为f（x）≥x-1恒成立，
所以，log₂（1+a•2^x+4^x）≥x-1，
即，1+a•2^x+4^x≥2^x-1，
分离参数a得，a≥$\frac{1}{2}$-（2^x+2^-x），
∵x≥1，∴（2^x+2^-x）_min=$\frac{5}{2}$，此时x=1，
所以，a≥$\frac{1}{2}$-$\frac{5}{2}$=-2，
即实数a的取值范围为[-2，+∞）．

点评 本题主要考查了对数函数的图象和性质，涉及对数的运算性质，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．