Question

14．已知a是实数，函数f（x）=ax+lnx，g（x）=e^x，其中e是自然对数的底数．
（1）设a≤0时，求f（x）的单调区间；
（2）设a=0时，试比较g（x）与f（x）+2的大小，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）求函数定义域、导数，再分类讨论得出函数的单调区间；
（2）构造新函数φ（x）=g（x）-f（x）-2，运用导数研究该函数的单调性，求出φ（x）的最小值，只需说明最小值大于零即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
且f'（x）=a+$\frac{1}{x}$（x＞0），其中，a≤0，分类讨论如下：
①当a=0时，f（x）=$\frac{1}{x}$＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递增；
②当a＜0时，令f'（x）=$\frac{a（x+\frac{1}{a}）}{x}$=0，解得x=-$\frac{1}{a}$，
当x∈（0，-$\frac{1}{a}$）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（-$\frac{1}{a}$，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
（2）当a=0时，f（x）=lnx，g（x）=e^x，则g（x）＞f（x）+2，证明如下：
构造函数φ（x）=g（x）-f（x）-2，则φ（x）=e^x-lnx-2，φ'（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，
φ''（x）=e^x+$\frac{1}{x^2}$＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴φ'（x）在（0，+∞）上单调递增．
设x=t为方程φ'（x）=0的根，则e^t=$\frac{1}{t}$，即t=e^-t．
当x∈（0，t）时，φ'（x）＜0，φ（x）在（0，t）上单调递减；
当x∈（t，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上单调递增．
所以，φ（x）_min=φ（t）=e^t-lnt-2=e^t-lne^-t-2=e^t+t-2，
又因为φ'（1）=e-1＞0，φ'（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-2＜0，所以，t∈（$\frac{1}{2}$，1），
∵φ（t）=e^t+t-2在（$\frac{1}{2}$，1）上单调递增，
∴φ（x）_min=φ（t）＞φ（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$+$\frac{1}{2}$-2＞0．
∴g（x）-f（x）＞2．
即g（x）＞f（x）+2．

点评 本题主要考查了运用导数研究函数的单调性和确定函数的单调区间，考查了分类整合思想、转化思想和综合运用知识分析解决问题的能力，属于中档题．