Question

3．关于x的不等式4^x-2×2^x＞0的解集为A，集合B={x∈R|y=log₃（m-x），m∈R}．
（1）若m=4，求A∪B；
（2）若A∩（∁_RB）=A，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 解不等式4^x-2×2^x＞0求出集合A，化简集合B，（1）求出m=4时的集合B，再计算A∪B；
（2）求出∁_RB，由A∩（∁_RB）=A得出A⊆∁_RB，即可求出m的取值范围．

解答 解：不等式4^x-2×2^x＞0可化为2^x（2^x-2）＞0，
解得2^x＞2，即x＞1；
∴该不等式的解集为A=（1，+∞）；
又集合B={x∈R|y=log₃（m-x），m∈R}
={x∈R|x＜m，m∈R}
=（-∞，m）；
（1）当m=4时，B=（-∞，4），
∴A∪B=（-∞，4）∪（1，+∞）=（-∞，+∞）=R；
（2）∵B=（-∞，m），∴∁_RB=[m，+∞），
又A∩（∁_RB）=A，
∴A⊆∁_RB，
即m≤1；
∴实数m的取值范围是m≤1．

点评 本题考查了不等式的解法和应用问题，也考查了函数的性质与应用问题，考查了集合的运算问题，是综合性题目．