Question

15．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中a=1，A+C=2B，△ABC的面积为S=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
（1）求b的长；
（2）求sinC的值．

Answer 1

分析 （1）由A+C=2B，A+B+C=π，即可解得：B=$\frac{π}{3}$．利用三角形面积公式可求c，根据余弦定理即可求b的值．
（2）由三角形面积公式可得$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{7}×$sinC，即可解得sinC的值．

解答 解：（1）∵A+C=2B，A+B+C=π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
∵a=1，△ABC的面积为S=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×1×c×\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：c=3．
∴b=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-2accosB}$=$\sqrt{1+9-2×1×3×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$．
（2）∵△ABC的面积为S=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{7}×$sinC，
∴解得：sinC=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．