Question

5．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k，使向量$\overrightarrow{m}$=k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，若存在，求k值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 由题意利用两个向量垂直的性质可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，再利用两个向量的数量积的运算可得 $\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{{k}^{2}+1}$•cos60°=2k，由此求得k的值，从而得出结论．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，设向量$\overrightarrow{m}$=k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
∵|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{（k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{{（a+k\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）=k+k=2k，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{{k}^{2}+1}$•cos60°=$\frac{{k}^{2}+1}{2}$=2k，求得k=2+$\sqrt{3}$或k=2-$\sqrt{3}$．
故存在k，满足条件．

点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算，属于基础题．