Question

15．已知A，B，C三点的坐标为（-1，0），（3，-1），（1，2），并且$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，求证：$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{AB}$．

Answer 1

分析 由平面向量坐标运算法则，求出$\overrightarrow{AB}$=（4，-1），$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}$=（$\frac{8}{3}$，-$\frac{2}{3}$），从而$\overrightarrow{EF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，由此能证明$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{AB}$．

解答 证明：∵A，B，C三点的坐标为（-1，0），（3，-1），（1，2），
并且$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}（2，2）=（\frac{2}{3}，\frac{2}{3}）$，$\overrightarrow{BF}$=$\frac{1}{3}（-2，3）=（-\frac{2}{3}，1）$，
$\overrightarrow{AB}$=（4，-1），$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$=（4，-1）+（-$\frac{2}{3}$，1）=（$\frac{10}{3}$，0），
$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}$=（-$\frac{2}{3}，-\frac{2}{3}$）+（$\frac{10}{3}$，0）=（$\frac{8}{3}$，-$\frac{2}{3}$），
∴$\overrightarrow{EF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{AB}$．

点评 本题考查向量平行的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．