Question

9．如图，动点A在函数y=$\frac{1}{x}$（x＜0）的图象上，动点B在函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上，过点A、B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A₁、A₂、B₁、B₂，若|A₁B₁|=4，则|A₂B₂|的最小值为$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 先设A，B的坐标，求得|A₂B₂|=$\frac{2}{b}$-$\frac{1}{a}$=（$\frac{2}{b}$-$\frac{1}{a}$）•1=$\frac{1}{4}$•（$\frac{2}{b}$-$\frac{1}{a}$）•（b-a），展开后运用基本不等式求其最值．

解答 解：设A（a，$\frac{1}{a}$），B（b，$\frac{2}{b}$），（a＜0，b＞0），
由|A₁B₁|=4得，b-a=4，
而|A₂B₂|=$\frac{2}{b}$-$\frac{1}{a}$=（$\frac{2}{b}$-$\frac{1}{a}$）•1
=$\frac{1}{4}$•（$\frac{2}{b}$-$\frac{1}{a}$）•（b-a）
=$\frac{1}{4}$[3+（-$\frac{2a}{b}$）+（-$\frac{b}{a}$）]
≥$\frac{1}{4}$[3+2$\sqrt{（-\frac{2a}{b}）•（-\frac{b}{a}）}$]
=$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$，
即|A₂B₂|的最小值为$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当：b²=2a²，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4-4\sqrt{2}}\\{b=8-4\sqrt{2}}\end{array}\right.$，取“=”，
故答案为：$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，涉及“贴1法”的应用和对分析问题和解决问题能力的考查，属于中档题．