Question

17．数列{a_n}满足a₁=1，对任意的n∈N^*都有a_n+1=a₁+a_n+n，则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}}}$=（　　）

• A． $\frac{2015}{2016}$
• B． $\frac{2016}{2017}$
• C． $\frac{4032}{2017}$
• D． $\frac{4034}{2017}$

Answer 1

分析 利用累加法求出数列的通项公式，得到$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．再由裂项相消法求得答案．

解答 解：∵a₁=1，
∴由a_n+1=a₁+a_n+n，得
a_n+1-a_n=n+1，
则a₂-a₁=2，
a₃-a₂=3，
…
a_n-a_n-1=n（n≥2）．
累加得：a_n=a₁+2+3+…+n=$1+2+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$（n≥2）．
当n=1时，上式成立，
∴${a}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$．
则$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}}}$=2$（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}）$=$2（1-\frac{1}{2017}）=\frac{4032}{2017}$．
故选：C．

点评 本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．