Question

7．已知p：$\frac{3}{x-1}$≤1，q：x²+x≤a²-a（a＜0），若￢q成立的一个充分而不必要条件是￢p，则实数a的取值范围为（-1，0）．

Answer 1

分析 根据充分条件和必要条件的定义和关系转化为集合关系进行求解即可．

解答 解：由$\frac{3}{x-1}$≤1得$\frac{3}{x-1}$-1=$\frac{3-x+1}{x-1}$=$\frac{4-x}{x-1}$≤0，
即$\frac{x-4}{x-1}≥$0，则x≥4或x＜1，即p：x≥4或x＜1，
若￢q成立的一个充分而不必要条件是￢p，
则p成立的一个充分而不必要条件是q，
即q⇒p，但p⇒q不成立，
由x²+x≤a²-a（a＜0），得x²+x+a-a²≤0（a＜0），
即（x+a）（x+1-a）≤0，
即a-1≤x≤-a，（a＜0），
即-a＜1，
即-1＜a＜0，
故答案为：（-1，0）．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的定义域，求出命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为对应的集合关系是解决本题的关键．