Question

15．函数$y={（\frac{1}{2}）^{{x^2}-x-\frac{1}{4}}}$的值域是（0，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根据复合函数单调性之间的性质进行求解即可．

解答 解：x²-x-$\frac{1}{4}$=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$≥$-\frac{1}{2}$，
∴$y={（\frac{1}{2}）^{{x^2}-x-\frac{1}{4}}}$≤$（\frac{1}{2}）^{-\frac{1}{2}}$=${2}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵$y={（\frac{1}{2}）^{{x^2}-x-\frac{1}{4}}}$＞0，
∴0＜y≤$\sqrt{2}$，
即函数的值域为（0，$\sqrt{2}$]．
故答案为：（0，$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查函数值域的计算，根据指数函数的单调性和一元二次函数的性质是解决本题的关键．