Question

10．$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=3．
（1）求$|{5\vec a-\vec b}|$；
（2）若$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$与λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$互相垂直，求λ．

Answer 1

分析 （1）利用$|5\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=（5\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}$，展开后代入数量积公式求得答案；
（2）由$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$与λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$互相垂直，得（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）•（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，展开后化为关于λ的方程求解．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=3，
∴$|5\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}$=$25|\overrightarrow{a}{|}^{2}-10\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$
=25×1²-10×1×3×cos120°+3²
=$25-30×（-\frac{1}{2}）+9$=49．
∴$|{5\vec a-\vec b}|$=7；
（2）若$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$与λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$互相垂直，
则（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）•（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
即λ$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$+（λ²-1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-λ$|\overrightarrow{b}{|}^{2}=0$．
∴λ+（λ²-1）$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos120°$-9λ=0．
∴$λ-\frac{3}{2}（{λ}^{2}-1）-9λ=0$，
整理得：3λ²+16λ-3=0．
解得：λ=$\frac{-8±\sqrt{73}}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，关键是${\overrightarrow{a}}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}$的应用，是中档题．