Question

5．已知F₁、F₂是椭圆$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
（1）若∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，求△F₁PF₂的面积；
（2）求$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义以及余弦定理，直接求解三角形的面积．
（2）设P（x，y），利用向量的坐标运算化简$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$，通过x的范围，求出$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值和最小值．

解答 解：（1）a=10，b=8，c=6，焦点坐标F₁（-6，0），F₂（6，0），|F₁F₂|=12，
根据椭圆定义，|PF₁|+|PF₂|=2a=20，
由余弦定理得：$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|co{s}^{\;}60°$，
=${（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|co{s}^{\;}60°$
$代入得|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=\frac{256}{3}$，
∴$s=\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|sin60°=\frac{64\sqrt{3}}{3}$
（2）∵椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{64}=1$，
∴F₁（-6，0），F₂（6，0），
设P（x，y），
则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-6-x，-y）•（6-x，-y）
=x²+y²-36
=x²+64-$\frac{16}{25}{x}^{2}$-36=$\frac{9}{25}{x}^{2}$+28，
∵x∈[-10，10]，∴x²∈[0，100]，
∴28≤$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$≤64，
点P为椭圆短轴端点时，$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$有最小值28，
点P为椭圆长轴端点时，$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$有最大值64．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值和最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．