Question

8．如图，边长相等的两个正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈BD，N∈AE且BM=EN≠BD．求证：MN⊥AB．

Answer 1

分析 过MO∥AD，交AB于O，连结NO，由已知推导出平面BCE∥平面OMN，再由AB⊥平面BCE，得到AB⊥OMN，由此能证明MN⊥AB．

解答 证明：过MO∥AD，交AB于O，连结NO，∴$\frac{BM}{BD}=\frac{BO}{BA}$，
∵边长相等的两个正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈BD，N∈AE且BM=EN≠BD，
∴BD=EA，∴$\frac{EN}{EA}$=$\frac{BM}{BD}=\frac{BO}{BA}$，∴NO∥BE，
∵AD∥BC，∴MO∥BC，
∵BC∩BE=B，MO∩NO=O，
∴平面BCE∥平面OMN，
∵边长相等的两个正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，
∴AB⊥BC，AB⊥BE，BC∩BE=B，
∴AB⊥平面BCE，∴AB⊥OMN，
∵MN?平面OMN，∴MN⊥AB．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．