Question

19．已知直线l₁经过点（0，1），直线l₂过点（5，0），且l₁∥l₂．
（1）若l₁与l₂距离为5，求两直线的方程；
（2）若l₁与l₂之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．

Answer 1

分析 （1）分类讨论：若l₁、l₂的斜率不存在，通过验证即可得出；若l₁，l₂的斜率都存在时，利用两条平行线的斜率之间的关系得出两条直线的方程，进而得到平行线之间的距离．
（2）当经过两点的直线与两点连线垂直时，距离最大．

解答 解：（1）①若l₁，l₂的斜率都存在时，
设直线的斜率为k，由斜截式得l₁的方程y=kx+1，即kx-y+1=0．
由点斜式可得l₂的方程y=k（x-5），即kx-y-5k=0．
在直线l₁上取点A（0，1），
则点A到直线l₂的距离d=$\frac{|1+5k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=5，
∴25k²+10k+1=25k²+25，
∴k=$\frac{12}{5}$．
∴l₁：12x-5y+5=0，l₂：12x-5y-60=0．
②若l₁、l₂的斜率不存在，
则l₁的方程为x=0，l₂的方程为x=5，它们之间的距离为5．同样满足条件．
（2）当经过两点的直线与两点连线垂直时，距离最大，此时斜率k=5，最大距离为$\sqrt{26}$，
l₁：5x-y+1=0，l₂：5x-y-25=0．

点评 本题考查了平行线之间的斜率关系及其距离、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．