Question

16．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省．

Answer 1

分析 首先由题意，列出两个变量满足的不等式组以及目标函数，然后画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值．

解答 解：设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，则$\left\{\begin{array}{l}{5x+7y≥35}\\{10x+4y≥40}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，目标函数为z=3x+2y，作出可行域如图

把z=3x+2y变形为y=-$\frac{3}{2}x+\frac{z}{2}$，得到斜率为-$\frac{3}{2}$．在y轴上的截距为$\frac{z}{2}$，随z变化的一族平行直线．
由图可知，当直线y=-$\frac{3}{2}x+\frac{z}{2}$经过可行域上的点A时，截距$\frac{z}{2}$最小，即z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{5x+7y=35}\\{10x+4y=40}\end{array}\right.$得A（$\frac{14}{5}$，3），
∴z_min=3×$\frac{14}{5}$+2×3=14.4．
∴选用甲种原料$\frac{14}{5}$×10=28（g），乙种原料3×10=30（g）时，费用最省．

点评 本题考查了简单线性规划问题的应用；关键是明确题意，列出约束条件，利用数形结合求目标函数的最值．