Question

6．函数f（x）=2log₂（x²+1）（x＜-1）的反函数f^-1（x）=-$\sqrt{{2}^{\frac{x}{2}}-1}$（x＞2）．

Answer 1

分析 先确定原函数的值域，即为其反函数的定义域，再根据原函数的解析式求反函数的表达式．

解答 解：y=f（x）=2log₂（x²+1），当x＜-1时，y＞2，
且log₂（x²+1）=$\frac{y}{2}$，
∴x²+1=${2}^{\frac{y}{2}}$，即x²=${2}^{\frac{y}{2}}$-1，
∵x＜-1，∴x=-$\sqrt{{2}^{\frac{y}{2}}-1}$，
再将x，y互换得，y=-$\sqrt{{2}^{\frac{x}{2}}-1}$，
其中，x＞2，所以，f^-1（x）=-$\sqrt{{2}^{\frac{x}{2}}-1}$（x＞2），
故答案为：-$\sqrt{{2}^{\frac{x}{2}}-1}$（x＞2）．

点评 本题主要考查了反函数的求法，涉及原函数与反函数定义域与值域间的关系，对数式与指数式的相互转化，属于中档题．