Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$），求cos（α-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（x）的最小正周期T=π，利用周期公式可解得ω，又f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，可得2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k=0，±1，±2，…．结合范围-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$，即可求得φ的值．
（2）由（1）得f（$\frac{α}{2}$）=$\sqrt{3}$sin（2×$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，解得sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，由$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$，0＜α-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，利用同角三角函数关系式即可得解．

解答 解：（1）因为f（x）的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f（x）的最小正周期T=π，从而ω=$\frac{2π}{T}$=2
又因为f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，
所以2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k=0，±1，±2，…．
因为-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$，
所以φ=-$\frac{π}{6}$．
（2）由（1）得f（$\frac{α}{2}$）=$\sqrt{3}$sin（2×$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
所以sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，
由$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$，0＜α-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，
所以cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-\frac{π}{6}）}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．