Question

4．己知等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₁+2a₂=1，a₃²=4a₂a₆．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：b_n=a_n+（-1）ⁿln（3a_n），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公比为q，利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=a_n+（-1）ⁿln（3a_n）=$\frac{1}{{2}^{n}}$+（-1）ⁿ（ln3-nln2）=$\frac{1}{{2}^{n}}$-（-1）ⁿnln2+（-1）ⁿln3，利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，
∵等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₁+2a₂=1，a₃²=4a₂a₆，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2{a}_{1}q=1}\\{（{a}_{1}{q}^{2}）^{2}=4{a}_{1}q•{a}_{1}{q}^{5}}\\{q＞0}\end{array}\right.$，
解得${a}_{1}=\frac{1}{2}$，q=$\frac{1}{2}$，
故数列{a_n}的通项公式为${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）b_n=a_n+（-1）ⁿln（3a_n）=$\frac{1}{{2}^{n}}$+（-1）ⁿ（ln3-nln2）=$\frac{1}{{2}^{n}}$-（-1）ⁿnln2+（-1）ⁿln3，
∴S_n=（$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$）+[-1+2-3+…+（-1）ⁿn]ln2+[-1+1-1+…+（-1）ⁿ]ln3，
当n为奇数时，S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+（$\frac{n-1}{2}-n$）ln2-ln3=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{2}ln2$-ln3．
当n为偶数时，S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{n}{2}$ln2=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{2}$ln2．
综上，${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n+1}{2}ln2-ln3，n为奇数}\\{1-\frac{1}{{2}^{n}}+\frac{n}{2}ln2，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要注意等比数列的性质和分组求和法及分类讨论思想的合理运用．