Question

14．已知二项式（2x²+$\frac{1}{x}$）ⁿ的展开式的系数之和为243，则展开式中含x⁴项的系数是80．

Answer 1

分析 先由条件求得n=5，再求出二项式展开式的通项公式，在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求得r的值，可得展开式中含x⁴项的系数．

解答 解：在 二项式（2x²+$\frac{1}{x}$）ⁿ的展开式中，令x=1，可得各项系数和为3ⁿ=23，∴n=5，
故二项式（2x²+$\frac{1}{x}$）ⁿ =（2x²+$\frac{1}{x}$）⁵的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{5}^{r}$•2^5-r•x^10-3r，
令10-3r=4，求得r=2，故展开式中含x⁴项的系数是${C}_{5}^{2}$•2³=80，
故答案为：80．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．