Question

11．如图，矩形ABCD所在的平面与平面ABEF互相垂直，ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AB=2，AD=AF=EF=BE=1．
（1）求证：平面AFD⊥平面CBF；
（2）求此几何体的体积．

Answer 1

分析 （1）取AB中点O，连结FO，由已知求出∠BEF=60°，由余弦定理BF=2$\sqrt{3}$，利用勾股定理得AF⊥BF，再由矩形ABCD所在的平面与平面ABEF互相垂直，得AD⊥BF，从而BF⊥平面ADF，由此能证明平面AFD⊥平面CBF．
（2）此几何体的体积V=V_F-ABCD+V_C-BEF，由此能求出结果．

解答 证明：（1）取AB中点O，连结FO，
∵ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AB=2，AD=AF=EF=BE=1，
∴△AFO是边长为1的等边三角形，∴∠BEF=60°，
∴BF=$\sqrt{4+4-2×2×2×cos120°}$=2$\sqrt{3}$，
∴AF²+BF²=AB²，∴AF⊥BF，
∵矩形ABCD所在的平面与平面ABEF互相垂直，
∴AD⊥AB，∴AD⊥平面AFEB，∴AD⊥BF，
∵AD∩AF=A，∴BF⊥平面ADF，
∵BF?平面CBF，∴平面AFD⊥平面CBF．
解：（2）取FO中点P，连结FP，
∵△AFO是边长为1的等边三角形，∴FP⊥AB，且FP=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵矩形ABCD所在的平面与平面ABEF互相垂直，
∴FP⊥平面ABCD，
∵S_矩形ABCD=AD×AB=1×2=2，${S}_{△BEF}=\frac{1}{2}×1×1×sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴此几何体的体积：
V=V_F-ABCD+V_C-BEF
=$\frac{1}{3}×AF×{S}_{△ABCD}+\frac{1}{3}×AD×{S}_{△BEF}$
=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2+\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{5\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．