Question

2．已知函数f（x）=x³-3x．
（1）计算：函数y=f（x）的零点；
（2）证明：函数f（x）在[1，+∞）上是单调递增函数．

Answer 1

分析 （1）解方程x³-3x=0便可得出y=f（x）的零点；
（2）根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂≥1，然后作差，分解因式，提取公因式x₁-x₂，从而证明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）在[1，+∞）上单调递增．

解答 解：（1）解x³-3x=0得，x=0，$-\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$；
∴y=f（x）的零点为0，$-\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$；
（2）证明：设x₁＞x₂≥1，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={{x}_{1}}^{3}-3{x}_{1}-{{x}_{2}}^{3}+3{x}_{2}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}-3）$；
∵x₁＞x₂≥1；
∴x₁-x₂＞0，${{x}_{1}}^{2}＞1，{x}_{1}{x}_{2}＞1，{{x}_{2}}^{2}≥1$，${{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}-3＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[1，+∞）上是单调递增函数．

点评 考查函数零点的概念及求法，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后一般要提取公因式x₁-x₂，立方差公式的运用．