Question

12．抛物线x²=2y上的点到直线x-2y-4=0的距离的最小值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{3\sqrt{5}}{4}$
• D． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 若使P到直线距离最小，则以点P为切点的直线与直线x-2y-4=0平行，从而求出点P的坐标，从而求最小值．

解答 解：设抛物线的一条切线的切点为P（a，b），
则以点P为切点的直线与直线x-2y-4=0平行时，P到直线距离取得最小值，
由y′=x=$\frac{1}{2}$可得点P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{8}$），
此时P到直线距离d=$\frac{|\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
故P到直线距离最小值为$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
故选：C．

点评 本题考查了圆锥曲线中的最值问题，同时考查了数形结合的思想及转化的思想，属于中档题．