Question

10．已知0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，且cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，求β-α．

Answer 1

分析 先利用同角三角函数关系式分别求出sinα、cosβ，再由两角差余弦函数公式能求出β-α的值．

解答 解：∵0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，且cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴0＜β-α＜$\frac{π}{2}$，
∴$sinα=\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{10}}{10}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cos（β-α）=cosαcosβ+sinαsinβ
=$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}+\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴β-α=$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查两角差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式和两角差余弦函数公式的合理运用．