Question

17．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（{a＞b＞0}）的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B的在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为$\frac{2}{3}$，则k的值为（　　）

• A． -$\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． ±$\frac{1}{3}$
• D． ±$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由椭圆的离心率为$\frac{2}{3}$，可得$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，所以c=$\frac{2}{3}$a，b=$\frac{\sqrt{5}}{3}$a，点B在x轴上的射影恰为右焦点F，可得B（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），即可得出k的值．

解答 解：∵椭圆的离心率为$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，
∴c=$\frac{2}{3}$a，b=$\frac{\sqrt{5}}{3}$a
∵点B在x轴上的射影恰为右焦点F，∴B（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
又A（-a，0），
∴k=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c+a}$=$\frac{\frac{5}{9}a}{\frac{5}{3}a}$=$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，属于基础题．