Question

15．已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，$AB=\sqrt{2}$，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求证：AM⊥平面BDF．
（3）求直线DE与AM所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设AC∩BD=O，连结OE，推导出EMAO是平行四边形，从而EO∥AM，由此能证明AM∥平面BDE．
（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AM⊥平面BDF．
（3）求出$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{AM}$，利用向量法能求出直线DE与AM所成角的余弦值．

解答 证明：（1）设AC∩BD=O，连结OE，
∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，
∴ACEF是矩形，M线段EF中点，
∴EM$\underset{∥}{=}$AO，∴EMAO是平行四边形，
∴EO∥AM，
∵AM?平面BDE，EO?平面BCE，
∴AM∥平面BDE．
（2）∵正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，∴EC⊥平面ABCD，
以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，
A（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，0），M（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），B（0，$\sqrt{2}$，0），
D（$\sqrt{2}，0，0$），F（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，1$），
$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），$\overrightarrow{DF}$=（0，$\sqrt{2}$，1），$\overrightarrow{DB}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{DF}$=0-1+1=0，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{DB}$=1-1+0=0，
∴AM⊥DF，AM⊥DB，
∵DF∩DB=D，∴AM⊥平面BDF．
解：（3）E（0，0，1），$\overrightarrow{DE}$=（-$\sqrt{2}$，0，1），$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
设直线DE与AM所成角的余弦值为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{AM}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴直线DE与AM所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．