Question

20．已知抛物线y²=8x的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点．
（1）求|AB|．
（2）求AB的中点M的坐标及|FM|．

Answer 1

分析 （1）先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p得答案；
（2）利用（1），可得AB的中点M的坐标，从而求出|FM|．

解答 解：（1）抛物线焦点为（2，0）
则直线方程为y=2x-4，代入抛物线方程得x²-6x+4=0
∴x₁+x₂=6
根据抛物线的定义可知|AB|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p=6+4=10．
（2）AB的中点M的横坐标为3，纵坐标为2×3-4=2，∴M（3，2），
∴|FM|=$\sqrt{（3-2）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{5}$

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质，考查学生的计算能力．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．