Question

10．已知函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，其中$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，sin2x），$\overrightarrow{n}$=（2cos²x+1，1），x∈R．
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）若x₁，x₂$∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，x₁≠x₂，且满足f（x₁）+f（x₂）=4$\sqrt{3}$，求|x₁-x₂|的最大值．

Answer 1

分析 （1）进行数量积的运算求出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$，然后根据二倍角的余弦公式及两角和的正弦公式便可得出f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+2$\sqrt{3}$，而令$2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ$从而便可得出f（x）的对称轴方程；
（2）求出f（x₁），f（x₂）带入便可得到$sin（2{x}_{1}+\frac{π}{3}）=-sin（2{x}_{2}+\frac{π}{3}）$，这样便可得到$sin（2{x}_{1}+\frac{π}{3}）=sin（2π-2{x}_{2}-\frac{π}{3}）$，这样根据x₁，x₂的范围便可得出$2{x}_{1}+\frac{π}{3}，2π-2{x}_{2}-\frac{π}{3}$的范围，进一步便可得到${x}_{1}，{x}_{2}∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$．这时会得到$2{x}_{1}+\frac{π}{3}=2π-2{x}_{2}-\frac{π}{3}$，从而有${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2π}{3}$，这样让x₁取最小值$\frac{π}{6}$，求出对应的x₂的最大值，从而便可得出|x₁-x₂|的最大值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}（2co{s}^{2}x+1）+sin2x$=$\sqrt{3}（1+cos2x+1）+sin2x$=$2sin（2x+\frac{π}{3}）+2\sqrt{3}$；
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）+2\sqrt{3}$；
令$2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z；
∴f（x）的对称轴方程为x=$\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z；
（2）由$f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）=4\sqrt{3}$得，$2sin（2{x}_{1}+\frac{π}{3}）+2sin（2{x}_{2}+\frac{π}{3}）+4\sqrt{3}=4\sqrt{3}$；
∴$sin（2{x}_{1}+\frac{π}{3}）=-sin（2{x}_{2}+\frac{π}{3}）$；
∴$sin（2{x}_{1}+\frac{π}{3}）=sin（2π-2{x}_{2}-\frac{π}{3}）$；
∵${x}_{1}，{x}_{2}∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$；
∴$2{x}_{1}+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{2}，\frac{4π}{3}]$，$2π-2{x}_{2}-\frac{π}{3}∈[\frac{2π}{3}，\frac{3π}{2}]$；
∴$2{x}_{1}+\frac{π}{3}，2π-2{x}_{2}-\frac{π}{3}∈[\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}]$；
∴${x}_{1}，{x}_{2}∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$；
∴$2{x}_{1}+\frac{π}{3}=2π-2{x}_{2}-\frac{π}{3}$；
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2π}{3}$；
∴x₁取最小值$\frac{π}{6}$时，x₂取最大值$\frac{π}{2}$；
∴|x₁-x₂|的最大值为$\frac{π}{2}-\frac{π}{6}=\frac{π}{3}$．

点评 考查向量数量积的坐标运算，二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式，以及三角函数的诱导公式，若sinα=sinβ，α，β在同一个单调区间上时，便有α=β．