Question

18．已知x∈（0，$\frac{π}{2}$），试求y=$\frac{1+2sinxcosx}{2+sinx+cosx}$的值域．

Answer 1

分析 换元t=sinx+cosx∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，可得y=t+2+$\frac{4}{t+2}$-4，由“对号函数”的值域可得．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴t²=（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx，解得2sinxcosx=t²-1，
∴y=$\frac{1+2sinxcosx}{2+sinx+cosx}$=$\frac{1+{t}^{2}-1}{2+t}$=$\frac{{t}^{2}}{t+2}$=$\frac{（t+2）^{2}-4（t+2）+4}{t+2}$=t+2+$\frac{4}{t+2}$-4
令m=t+2∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+2，3]，则y=m+$\frac{4}{m}$-4在m∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+2，3]上单调递增，
∴当m=3时，函数取最大值$\frac{1}{3}$，当m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+2时，函数取最小值$\frac{4-\sqrt{2}}{14}$，
∴函数的值域为（$\frac{4-\sqrt{2}}{14}$，$\frac{1}{3}$]．

点评 本题考查三角函数的值域，涉及和差角的三角函数和换元法求函数的值域，属中档题．