Question

19．求抛物线y²=64x上的点到直线4x+3y+46=0的距离的最小值，并求取得最小值时的抛物线上点的坐标．

Answer 1

分析 先设出与直线平行且与抛物线相切的直线，与抛物线联立消去x，根据判别式等于0求得k，则切线方程可得，进而与抛物线方程联立求得切点的坐标，进而根据点到直线的距离求得答案．

解答 解：设与直线l：4x+3y+46=0平行，且与抛物线y²=4x相切的直线为4x+3y+k=0．
代入在抛物线y²=64x，消x得y²+48y+16k=0．
∴△=48²-64k=0，解得k=36，即切线为4x+3y+36=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{4x+3y+36=0}\\{{y}^{2}=64x}\end{array}\right.$，解得点P（9，-24）．
∴最短距离d=$\frac{|46-36|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=2．

点评 本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生数形结合和转化与化归的思想．