Question

11．已知数列{a_n}和{b_n}满足下列关系式：a₁=0，b₁=2，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=4{a}_{n}+{b}_{n，}}\\{{b}_{n+1}=3{a}_{n}+6{b}_{n}}\end{array}\right.$
（1）设数列{c_n}满足c_n=b_n+λa_n，证明存在实数λ，使得数列{c_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）数列{c_n}为等比数列的必要条件是${{c}_{2}}^{2}={c}_{1}{c}_{3}$，由此求了λ=-3或λ=1．当λ=-3时，c_n=b_n-3a_n，$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=3，{c_n}是首项2，公比为3的等比数列；当λ=1时，c_n=b_n+a_n，$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=7，{c_n}是首项2，公比为7的等比数列．
（2）由${b}_{n}-3{a}_{n}=2×{3}^{n-1}$，${b}_{n}+{a}_{n}=2×{7}^{n-1}$，能求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式．

解答 解：（1）数列{c_n}为等比数列的必要条件是${{c}_{2}}^{2}={c}_{1}{c}_{3}$，
∵数列{a_n}和{b_n}满足下列关系式：a₁=0，b₁=2，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=4{a}_{n}+{b}_{n，}}\\{{b}_{n+1}=3{a}_{n}+6{b}_{n}}\end{array}\right.$
∴a₂=4×0+2=2，b₂=3×0+6×2=12，
a₃=4×2+12=20，b₃=3×2+6×12=78，
∴c₁=2+λ×0=2，c₂=12+λ×2=2λ+12，c₃=78+20λ，
∴（2λ+12）²=2（78+20λ），
解得λ=-3或λ=1．
当λ=-3时，c_n=b_n-3a_n，
$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{{b}_{n+1}-3{a}_{n+1}}{{b}_{n}-3{a}_{n}}$=$\frac{3{a}_{n}+6{b}_{n}-12{a}_{n}-3{b}_{n}}{{b}_{n}-3{a}_{n}}$=$\frac{3{b}_{n}-9{a}_{n}}{{b}_{n}-3{a}_{n}}$=3，
∴λ=-3时，{c_n}是首项2，公比为3的等比数列；
当λ=1时，c_n=b_n+a_n，
$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{{b}_{n+1}+{a}_{n+1}}{{b}_{n}+{a}_{n}}$=$\frac{4{a}_{n}+{b}_{n}+3{a}_{n}+6{b}_{n}}{{b}_{n}+{a}_{n}}$=$\frac{7{b}_{n}+7{a}_{n}}{{b}_{n}+{a}_{n}}$=7，
∴λ=1时，{c_n}是首项2，公比为7的等比数列．
（2）λ=-3时，${b}_{n}-3{a}_{n}=2×{3}^{n-1}$，①
λ=1时，${b}_{n}+{a}_{n}=2×{7}^{n-1}$，②
取立①②，得：${a}_{n}=\frac{1}{2}（{7}^{n-1}-{3}^{n-1}）$，b_n=$\frac{3}{2}×{7}^{n-1}+\frac{1}{2}×{3}^{n-1}$．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．