Question

1．函数y=f₁（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一段图象如图所示．
（1）求函数f₁（x）的解析式；
（2）将函数y=f₁（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得到函数图y=f₂（x）的图象，求y=f₂（x）的最大值，并求出此时自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而得到函数的解析式．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得y=f₂（x）=f₁（x-$\frac{π}{4}$）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），从而可求y=f₂（x）的最大值及取最大值时的自变量的值．

解答 解：（1）由函数的图象可得，A=2，由 $\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{3}-（-\frac{π}{6}）$，解得ω=2．
再由点（$\frac{π}{3}$，0）在函数图象上，可得 2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ，k∈Z，解得φ=kπ-$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{3}$．
故函数的解析式为f₁（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）将函数y=f₁（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度，
得到函数图y=f₂（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
y=f₂（x）的最大值为2，此时2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的最值，属于中档题．