Question

10．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$ax²+bx（a≠0）．
（I）若函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y=3x-$\frac{3}{2}$b，求a，b的值；
（Ⅱ）若当a=2时，函数f（x）在R上是增函数，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=1nx的图象C₁与函数h（x）=f（x）-ag（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，求出切线的斜率，切点，由已知切线方程，可得a，b的方程，解得即可；
（Ⅱ）求出a=2的导数，由f（x）是增函数，则有f′（x）≥0在x＞0恒成立，运用参数分离，运用基本不等式求得右边的最小值，即可得到b的范围；
（Ⅲ）首先设点P、Q的坐标是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂，然后通过导数公式以及导数的几何意义，分别求出曲线C₁在点M处的切线斜率k₁和曲线C₂在点N处的切线斜率k₂，因为两条切线平行，所以k₁=k₂，解关于x₁，x₂，a，b的方程，整理成ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$．设t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，则lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$，令F（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，转化为关于t的函数讨论问题，根据其单调性得出lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，矛盾，因此假设不成立．可得C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$ax²+bx的导数为f′（x）=$\frac{a}{x}$+ax+b，
在x=1处的切线斜率为k=2a+b，f（1）=$\frac{1}{2}$a+b，
在x=1处的切线方程为y=3x-$\frac{3}{2}$b，即有2a+b=3，$\frac{1}{2}$a+b=3-$\frac{3}{2}$b，
解得a=b=1；
（Ⅱ）若a=2时，函数f（x）=2lnx+x²+bx的导数为f′（x）=$\frac{2}{x}$+2x+b，
由f（x）是增函数，则有f′（x）≥0在x＞0恒成立，
即-$\frac{b}{2}$≤x+$\frac{1}{x}$，由于x+$\frac{1}{x}$≥2（当且仅当x=1取得等号），
则有-$\frac{b}{2}$≤2，解得b≥-4；
（Ⅲ）设点P、Q的坐标是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂
则点M，N的横坐标为x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
C₁点在M处的切线斜率为k₁=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
C₂点N处的切线斜率为k₂=$\frac{a（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$+b，
假设C₁点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则k₁=k₂
即$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{a（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$+b，
则$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{a}{2}$（x₂²-x₁²）+b（x₂-x₁）=（$\frac{a}{2}$x₂²+bx₂）-（$\frac{a}{2}$x₁²+bx₁）=y₂-y₁=lnx₂-lnx₁．
∴ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$．
设t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，则lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$①
令F（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
则F′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{（t+1）^{2}}$=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$，
因为t＞1时，F'（t）＞0，
所以F（t）在[1，+∞）上单调递增．
故F（t）＞F（1）=0
则lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$．这与①矛盾，假设不成立．
故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间和极值、最值，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，属于中档题．