Question

2．数列{a_n}是以-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，且a₃=1，记{a_n}的前n项和为T_n，数列{r_n}满足r_n=T_n-$\frac{1}{{T}_{n}}$，记数列{r_n}的最大项为a，最小项为b，则a+b=$\frac{21}{4}$．

Answer 1

分析 由等比数列通项公式求出首项和公比，由此利用等比数列前n项和公式求出T_n，从而利用极限思想能求出结果．

解答 解：∵数列{a_n}是以-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，且a₃=1，
∴${a}_{3}={a}_{1}×（-\frac{1}{2}）^{2}=1$，解得a₁=4，
∴T_n=$\frac{4[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{8}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$，
∵r_n=T_n-$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{8}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$-$\frac{3}{8[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}$，
n→∞时，$（-\frac{1}{2}）^{n}$→0，r_n→$\frac{8}{3}-\frac{3}{8}$=$\frac{55}{24}$，
n=1时，r_n=T₁-$\frac{1}{{T}_{1}}$=4-$\frac{1}{4}$=$\frac{15}{4}$．
n=2时，r_n=${T}_{2}-\frac{1}{{T}_{2}}$=2-$\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
∴a=$\frac{15}{4}$，b=$\frac{3}{2}$，a+b=$\frac{15}{4}+\frac{3}{2}$=$\frac{21}{4}$．
故答案为：$\frac{21}{4}$．

点评 本题考查数列中最大值、最小值之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．