Question

12．设数列{x_n}的各项都为正数且x₁=1．如图，△ABC所在平面上的点P_n（n∈N^*）均满足△P_nAB与△P_nAC的面积比为3：1，若（2x_n+1）$\overrightarrow{{P}_{n}C}$+$\overrightarrow{{P}_{n}A}$=$\frac{1}{3}$x_n+1$\overrightarrow{{P}_{n}B}$，则x₅的值为31．

Answer 1

分析 根据题意，作出平行四边形P_nAED，使$\overrightarrow{{P}_{n}D}$=（2x_n+1）$\overrightarrow{{P}_{n}C}$，$\overrightarrow{{P}_{n}E}$=$\frac{1}{3}$x_n+1$\overrightarrow{{P}_{n}B}$，根据几何意义得出$\frac{{S}_{{△P}_{n}AE}}{{S}_{{△P}_{n}AB}}$与$\frac{{S}_{{△P}_{n}AC}}{{S}_{{△P}_{n}AE}}$的值，从而得出x_n+1与x_n的递推关系，即可求出x₅的值．

解答 解：因为（2x_n+1）$\overrightarrow{{P}_{n}C}$+$\overrightarrow{{P}_{n}A}$=$\frac{1}{3}$x_n+1$\overrightarrow{{P}_{n}B}$，
用图形表示上面等式如下：

其中$\overrightarrow{{P}_{n}D}$=（2x_n+1）$\overrightarrow{{P}_{n}C}$，$\overrightarrow{{P}_{n}E}$=$\frac{1}{3}$x_n+1$\overrightarrow{{P}_{n}B}$；
∴$\frac{|\overrightarrow{{P}_{n}E}|}{|\overrightarrow{{P}_{n}B}|}$=$\frac{1}{3}$x_n+1，$\frac{{S}_{{△P}_{n}AE}}{{S}_{{△P}_{n}AB}}$=$\frac{1}{3}$x_n+1；
又∵$\frac{|\overrightarrow{{P}_{n}C}|}{|\overrightarrow{{P}_{n}D}|}$=$\frac{{P}_{n}C}{AE}$=$\frac{1}{{2x}_{n}+1}$，
∴$\frac{{S}_{{△P}_{n}AC}}{{S}_{{△P}_{n}AE}}$=$\frac{1}{{2x}_{n}+1}$，
∴$\frac{{S}_{{△P}_{n}AC}}{{S}_{{△P}_{n}AB}}$=$\frac{{x}_{n+1}}{3{（2x}_{n}+1）}$=$\frac{1}{3}$；
即x_n+1=2x_n+1，
∴x_n+1+1=2（x_n+1）；
∴{x_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列；
∴x₅+1=2•2⁴，解得x₅=31．
故答案为：31．

点评 本题考查了平面向量加法的平行四边形法则与数乘的几何意义，两个三角形面积的比值的应用问题，也考查了等比数列的定义和通项公式的应用问题，是难题．