Question

17．已知函数f（x）=log₂（2x²-4x+10），g（x）=f（x）-log₂（x²+x+1）
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若g（x）＞1，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先对函数的真数配方，求得真数的最小值，从而求得函数的最小值，即得值域；
（2）将不等式等价为：$\frac{2x^2-4x+10}{x^2+x+1}$＞2，解之即可．

解答 解：（1）f（x）=log₂[2（x-1）²+8]，
显然，当x=1时，真数取得最小值8，
所以，函数的最小值为log₂8=3，
即f（x）_min=f（1）=log₂8=3，
因此，函数f（x）的值域为[3，+∞）；
（2）g（x）=f（x）-log₂（x²+x+1）
=log₂（2x²-4x+10）-log₂（x²+x+1）
=log₂$\frac{2x^2-4x+10}{x^2+x+1}$＞1，
所以，$\frac{2x^2-4x+10}{x^2+x+1}$＞2，
解得x＜$\frac{4}{3}$，
即x的取值范围为（-∞，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题主要考查了对数函数的图象与性质，涉及函数的单调性和最值，以及对数的运算性质和不等式的解法，属于中档题．