Question

8．已知sin（$\frac{π}{2}$-θ）-cos（π+θ）=3sin（2π-θ），求sinθcosθ+cos²θ．

Answer 1

分析 由诱导公式得到$sinθ=\frac{2}{3}cosθ$，利用同角三角函数关系式求出$co{s}^{2}θ=\frac{9}{13}$，sin²θ=$\frac{4}{13}$，由此能求出sinθcosθ+cos²θ．

解答 解：∵sin（$\frac{π}{2}$-θ）-cos（π+θ）=3sin（2π-θ），
∴cosθ+cosθ=3sinθ，
∴$sinθ=\frac{2}{3}cosθ$，
∴cos²θ+sin²θ=$co{s}^{2}θ+\frac{4}{9}co{s}^{2}θ$=1，
解得$co{s}^{2}θ=\frac{9}{13}$，sin²θ=$\frac{4}{13}$，
∴sinθcosθ+cos²θ=$\sqrt{si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}$+cos²θ
=$\sqrt{\frac{4}{13}×\frac{9}{13}}+\frac{9}{13}$=$\frac{6}{13}+\frac{9}{13}$=$\frac{15}{13}$．

点评 本题考查三角函数值化简求值，是中档题，解题时要认真审题，注意诱导公式、同角三角函数关系式的合理运用．