Question

7．画出方程x⁴-x²=y⁴-y²的曲线C，并回答下列问题：
（1）若点A（m，$\sqrt{2}$）在曲线C上，求m的值；
（2）若直线y=a（a∈R）与曲线C分别有一个、两个、三个、四个交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）点A（m，$\sqrt{2}$）在曲线C上，代入方程，即可求m的值；
（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=±x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得直线与圆的四个交点A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），D（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），结合图象，求a的取值范围．

解答 解：原方程可化为（x²-y²）（x²+y²-1）=0即  y=±x或x²+y²=1．故方程的曲线C如图所示
（1）∵点A（m，$\sqrt{2}$）在曲 线C上，
∴（m²-2）[m²+（$\sqrt{2}$）²-1]=0，
解之，有m=±$\sqrt{2}$．　　                              
（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=±x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得直线与圆的四个交点A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），D（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），结合图象可知：
当直线y=a与曲线C有两个交点时：
a＞1或a＜-1，或a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当直线y=a与曲线C有三个交点时：
a=1或a=-1，或a=0，
当直线y=a与曲线C有四个交点时：
0＜a＜1且a≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或-1＜a＜0且a≠-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由曲线的对称性知，直线y=a与曲线C不会只有一个交点，即不存在实数a，使直线y=a与曲线C有一个交点．

点评 本题考查曲线与方程，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，属于中档题．